Norme d'un vecteur

Définition

On appelle norme du vecteur \(\vec{u}\) , notée \(\lVert \vec{u} \rVert\) , la distance \(\text A\text B\) où \(\text A\) et \(\text B\) sont les points tels que   \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) .

Propriété
Dans un repère orthonormé, si   \(\vec{u}\) a pour coordonnées \(\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) , alors  \(\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2+y^2}\) .
Démonstration (idée)

C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore. Si on considère les points  \(\text A(x_\text A; y_\text A)\) et \(\text B(x_\text B; y_\text B)\) tels que   \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) , il suffit d'appliquer le théorème au triangle \(\text A\text B\text C\) , rectangle en  \(\text C\) , et où  \(\text C\) a pour coordonnées \((x_\text B;y_\text A)\) .

Exemple

Soit \(\vec u \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) , alors  \(\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\) .